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05
2009

50問の四択問題を勘で解いて30問以上正答する確率

CATEGORY資格試験
とんでもなくどうでもいい思考実験というか、シミュレーションをしてみました。

択一式の資格試験ってだいたい、問題数が50問で、1問2点で100点満点~つう試験が多いと思うんですね。
しかし、もちろん50問全部を自信を持って解き切れるなんつうほど簡単な試験なんてほとんどないわけで。
ある程度は勘に頼らざるをえないケースというのも当然ありますよね。

じゃあ、たとえば○問くらいは普通に解けたけど、残りの○問はまるっきり勘で答えた…みたいな場合、合格基準の6割とか7割に達してる確率ははたして何パーセントくらいなんだろうね?
というのを、高校数学の知識とExcelさんを駆使してシミュレーションしてみた。うわ何やってんだ俺。

とりあえずまずは簡単な事例からどんどん複雑化していってみましょう。


【問1】
ひであき君は、ある検定試験を受験しましたが、50問の四択問題に対してまったく手も足も出なかったので、すべて勘で答えて試験終了時刻まで寝て過ごしました。
この検定試験の合格基準が「30問以上正答」のとき、ひであき君の合格確率は何パーセントですか。
ただし、勘で答えた問題がたまたま正解となる確率は、4分の1(0.25)とします。



とりあえず宅建試験あたりを想定してみてください。
得点の期待値は50×0.25=12.5点なんで、まあすごい低い確率になることは容易に予想されますが、はたして…

[解答]
正答数がn個である確率は
 50Cn × 0.25^n × (1-0.25)^(50-n)
なので、nが30の場合から50の場合までを全部足す。

Excelでゴリゴリやってみると、1.64229E-07と出ました!
えーと、これって0.000000164229ってことでいいんだよね?
ってことは、約0.0000164パーセントってところかな。あってるか?

ちなみに、合格基準を「35問以上正答」とした場合は、2.95193E-11。
さらに、五択問題で30問以上の場合は、6.93675E-10。
五択問題で35問以上の場合は、3.03383E-14となりました。まあ無理だな。

以上の結果はExcelでけっこうてきとうに計算したんで、違うわボケーとかあったら遠慮なくコメントしてね。


【問2】
ひであき君は、ある検定試験を受験しましたが、四択問題50問中20問しかまともに解けず、残りの30問はまったく手も足も出なかったのですべて勘で答えました。
この検定試験の合格基準が「30問以上正答」のとき、ひであき君の合格確率は何パーセントですか。
ただし、まともに解けた問題は普通に正答しているものとし、勘で答えた問題がたまたま正解となる確率は、4分の1(0.25)とします。



もうちょっと現実にありそうな事例。
期待値は20+30×0.25=27.5点ですが、どのくらい高くなるかな?

[解答]
勘で答えた問題30問の正答数が10問以上であればよい。
この30問の正答数がn個である確率は
 30Cn × 0.25^n × (1-0.25)^(30-n)
なので、nが10の場合から30の場合までを全部足す。

ってことで本質的にはこっちのほうが計算楽です。Excelで出してみると、0.196593363と出ました!
ってことで、約19.7パーセント。まあこれでもたぶん落ちるね。

ちなみに、合格基準を「35問以上正答」とした場合は、0.002749534。
さらに、五択問題で30問以上の場合は、0.061087148。
五択問題で35問以上の場合は、0.000231226だそうです。


【問3】
ひであき君は、ある検定試験を受験しました。問題数は50問で、すべて四択問題です。
まともに解けた問題数は、20問でした。
二択までは絞り込めたものの、最後は結局勘に頼ってしまった問題が、15問ありました。
まったく手も足も出ず、まるっきり勘に頼った問題が、15問ありました。
この検定試験の合格基準が「30問以上正答」のとき、ひであき君の合格確率は何パーセントですか。
ただし、まともに解けた問題は普通に正答しているものとし、二択まで絞り込めた問題が正解となる確率は2分の1(0.50)、まるっきり勘で答えた問題がたまたま正解となる確率は4分の1(0.25)とします。


さらにもうちょっと現実にありそうな事例を考えてみました。
期待値は20+15×0.5+15×0.25=31.25点ってことで、30点は普通に超えているが…?

[解答]
二択まで絞り込めた15問の正答数がn個である確率は
 15Cn × 0.50^n × (1-0.50)^(15-n)
まるっきり勘で答えた15問の正答数がm個である確率は
 15Cm × 0.25^m × (1-0.25)^(15-m)
なので、nとmが0の場合から15の場合までの数値をそれぞれ全部出して、さらにn+mが10以上となるnとmの組み合わせの確率を全部足す。

もっといいやり方はないのかよとつっこみたくなりますが、とりあえずこれで出してみると、0.750269602と出ました!
ってことで、約75.0パーセントね。まあこんなもんかな。
ただ、ほんとにこれで数値合ってんのかよという気は大いにします。
解法自体には特に問題ないとは思うが…

ちなみに、合格基準を「35問以上正答」とした場合は、0.103106127。
さらに、五択問題で30問以上の場合は、0.651621097。
五択問題で35問以上の場合は、0.055041993だそうです。


自分でも何やってんだろとは思いますが、とりあえず今回はこんなところで!
後日また改めてもうちょっと遊んでみたいと思います。
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