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21
2010

35%の理解度で100点満点中60点とれる!

CATEGORY資格試験
…とか書くと、なんだかうさんくさい教材の宣伝文句みたいですが、実は最近

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(2010/03/05)
斎尾裕史

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っていう本を読んだんですけど、これになかなかおもしろいことが書いてありましてね。

そのまま引用しちゃうけど、


仮に、完全に知識を問うだけの問題が出たとします。出題形式が四択(四つの選択肢の中から正しいものをひとつ選ぶ形式)だった場合、どれくらいの知識を持っていれば60点が取れるでしょうか?

もっと具体的にいいましょう。四択問題が25問出たとすると、選択肢は全部で100個になります。その100の選択肢のうち、知っている(自信を持って答えられる)割合が何パーセントであればいいでしょうか?

60パーセントだと思われた方は、残念ながら間違いです。60パーセント知っている場合は、次のようになります。

たとえば「ア、イ、ウ、エ」の四つの選択肢のうち、「ア」が正答だとすれば、「ア」について知っていれば、「イ、ウ、エ」は知らなくても正解できます。「ア」について知っている可能性は60パーセントですから、最低60点は確保できます。

しかし、「ア」について知らなくても、「イ、ウ、エ」について知っていれば、これらが間違いだとわかるので、消去法で「ア」とわかります。「イ、ウ、エ」について知っている可能性は60パーセントの三乗で、約22パーセントです。また、「ア、イ、ウ、エ」についてまったく知らなかったとしても、適当に答えれば確率25パーセントで正解できます。

このような可能性をすべて足し合わせた期待値は、約82点になります。

(中略)

では、四択問題で平均60点取るためには、全選択肢のうち何パーセントを知っていればいいでしょうか? 答えは約35パーセントです。


なんだってさ!
すごくね? マジすごくね?

まあ超適当に考えても、「半分普通に解けりゃ残りは4分の1の確率で当たるから62.5点はとれるよね?」くらいのことは誰でも思いつくと思いますが、まさか35パーセントで6割とれるなんて!すごいなあ。ためしに計算してみたら確かにそうなった。


ってことで今回は、この命題を計算問題として解いてみようという趣向です!

別にそんな難しい数学を使うわけではないので、お気軽にいってみよう!


選択肢の正誤を完璧に判断できることを「○」で、判断できないことを「×」で表すと、選択肢アイウエに関する○×の状態は

  アイウエ
01 ○○○○
02 ○○○×
03 ○○×○
04 ○×○○
05 ×○○○
06 ○○××
07 ○×○×
08 ○××○
09 ×○○×
10 ×○×○
11 ××○○
12 ○×××
13 ×○××
14 ××○×
15 ×××○
16 ××××

の16通りが考えられる。
例えば06の場合は、選択肢アとイはその正誤を完璧に判断できるが、ウとエはわからないので勘に頼るしかない、という状態を意味する。

ここで、簡単のため、01~16すべての場合で、選択肢アが正解の選択肢であるとする。
また、選択肢の正誤を完璧に判断できる確率をpとする。


【A】
  アイウエ
01 ○○○○ の場合

このとき、選択肢アの正誤が完璧に判断でき、かつアが正解肢であるため、100%正解できる。
この状態が発生する確率は、P(A)=p^4

【B】
  アイウエ
02 ○○○×
03 ○○×○
04 ○×○○ の場合

このとき、選択肢アの正誤が完璧に判断でき、かつアが正解肢であるため、100%正解できる。
この状態が発生する確率は、P(B)=3×p^3×(1-p)

【C】
  アイウエ
05 ×○○○ の場合

このとき、選択肢アの正誤が判断できないが、選択肢イウエが誤りであることが完璧に判断できるため、消去法で100%正解できる。
この状態が発生する確率は、P(C)=p^3×(1-p)

【D】
  アイウエ
06 ○○××
07 ○×○×
08 ○××○ の場合

このとき、選択肢アの正誤が完璧に判断でき、かつアが正解肢であるため、100%正解できる。
この状態が発生する確率は、P(D)=3×p^2×(1-p)^2

【E】
  アイウエ
09 ×○○×
10 ×○×○
11 ××○○ の場合

このとき、選択肢アの正誤が判断できないが、選択肢イウエのうち2つが誤りであることが完璧に判断できるため、残り1つの選択肢とアから勘で答えを選ぶとすると、1/2の確率で正解できる。
この状態が発生する確率は、P(E)=3×p^2×(1-p)^2

【F】
  アイウエ
12 ○××× の場合

このとき、選択肢アの正誤が完璧に判断でき、かつアが正解肢であるため、100%正解できる。
この状態が発生する確率は、P(F)=p×(1-p)^3

【G】
  アイウエ
13 ×○××
14 ××○×
15 ×××○ の場合

このとき、選択肢アの正誤が判断できないが、選択肢イウエのうち1つが誤りであることが完璧に判断できるため、残り2つの選択肢とアから勘で答えを選ぶとすると、1/3の確率で正解できる。
この状態が発生する確率は、P(G)=3×p×(1-p)^3

【H】
  アイウエ
16 ×××× の場合

このとき、すべての選択肢の正誤が判断できないが、勘で答えを選ぶとすると、1/4の確率で正解できる。
この状態が発生する確率は、P(H)=(1-p)^4


以上より、四択問題が100問のときに正解できる問題数Nの期待値E(N)は、

E(N)=100×{P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+1/2×P(E)+P(F)+1/3×P(G)+1/4×P(H)}
=100×{p^4 + 3×p^3×(1-p) + p^3×(1-p) + 3×p^2×(1-p)^2 + 3/2×p^2×(1-p)^2 + p×(1-p)^3 + p×(1-p)^3 + 1/4×(1-p)^4}
=100×{p^4 + 4×p^3×(1-p) + 9/2×p^2×(1-p)^2 +2×p×(1-p)^3 + 1/4×(1-p)^4}
=...
=100×{-1/4×p^4 + p + 1/4}
=-25p^4 + 100p + 25

と算出されました!
意外と簡単な式になりましたね。

実際、p=0.35を入れてみるとN=59.62になりますし、p=0.60のときはN=81.76になります。
へーっ。こりゃすごいね!


とはいえまあ…あくまで確率論的にはって話なんでねこれは。

実際、引用元の本でも、要するにせいぜい半分かそこらくらいの理解度でも合格点は十分狙えるっていう話をしたいがためにこういう話をしてるってだけだと思いますけど。


でも野暮を承知で、まあほんとはそんなに世の中甘くないすけどね的な話をするとしますと

この仮定だと各選択肢が全く独立だという想定になってますけど、実際のところは同じ問の中の選択肢アイウエはやっぱ相互に関連した内容になってるのが普通なので、「○○○○」か「××××」のパターンが他のパターンよりも相対的に多く発生しそう

だし、

「その内容を理解している」ということと「その内容を問う選択肢が出たときにその選択肢の正誤を完璧に判断できる」ということとはまた別の話だし、そもそもこのpっていう値の定義が難しいよね

ということもいえそう。

ってことで、まあ、こんな考え方もあるんだなってくらいで。


というか、なんかこういう問題、普通に大学入試の数学とかで出そうだよね(笑)
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